Il complemento: calcolare ciò che non accade
Il complemento è 1 meno la probabilità dell'evento. Tre conti: non-rosso, almeno una testa, almeno un sei.
A volte è più semplice calcolare ciò che non accade e poi toglierlo da uno. La probabilità dell'evento contrario è 1 meno la probabilità dell'evento. Si chiama complemento. Non è un trucco da sala. È un modo per non dimenticare lo zero della roulette, la doppia croce di una moneta, il dado che non mostra il sei. Questa pagina fa tre conti, rifatti con calma. Non suggerisce una puntata. Serve a leggere un numero intero, da adulti.
Togliere da uno
Se un evento ha probabilità p, l'evento contrario ha probabilità 1 meno p. I due numeri sommano a 1, perché una delle due cose accade. Se la somma non fa 1, si è lasciato fuori un caso oppure lo si è contato due volte. Il controllo è questo, prima di qualsiasi interpretazione.
Sulla moneta equa, testa vale 1/2 e non-testa vale 1/2. Il complemento non aggiunge informazione, e va bene così: conferma che l'elenco è completo. Sulla roulette europea il rosso vale 18/37. Il non-rosso non vale 18/37 e non vale 19/36. Vale 19/37: 18 neri più lo zero. 18 più 19 fa 37. Il dettaglio è lo stesso discusso per il numero singolo, visto dal lato di ciò che non è rosso.
Almeno uno, calcolato al contrario
Chiedere la probabilità di almeno un successo in due prove indipendenti è spesso più pulito dal fallimento doppio. Moneta equa, almeno una testa in due lanci. Il contrario è croce-croce, che vale 1/4. Quindi almeno una testa vale 1 meno 1/4, cioè 3/4. Le tre sequenze favorevoli sono testa-testa, testa-croce e croce-testa, ciascuna 1/4: tre quarti, stesso risultato. L'elenco delle sequenze corte torna utile per non unire due coppie in una sola.
Due dadi equi, probabilità di almeno un sei. Il contrario è che entrambi mostrino una faccia da 1 a 5. Ogni dado ha 5/6 di non fare sei. Insieme, se i dadi sono indipendenti, (5/6) per (5/6) fa 25/36. Almeno un sei vale 1 meno 25/36, cioè 11/36. Non è la probabilità che la somma sia 6 o 7, che è un altro quesito, già percorso nell'articolo sui dadi e le somme. Almeno un sei include il doppio sei e lascia fuori solo le coppie senza sei.
Dove il complemento si rompe se si ha fretta
Il passaggio 1 meno p vale per il contrario vero, non per un quasi-contrario. Non-rosso sulla roulette include il nero e lo zero. Chi fa 1 meno 18/37 e poi chiama il risultato nero ha regalato lo zero al colore sbagliato. 19/37 non è la probabilità del nero. Il nero resta 18/37. Lo zero è la casella che manca al racconto simmetrico.
Un altro errore è applicare il complemento a eventi che non coprono tutto e non si escludono. Almeno una testa e almeno una croce, in due lanci, non sono contrari: testa-croce soddisfa entrambi. Prima si definisce l'evento con una frase che si possa negare senza ambiguità. Poi si sottrae da 1. Se la frase è ambigua, il complemento è un numero preciso applicato alla domanda sbagliata.
A che cosa serve, nei giochi a pagamento
Serve a non sopravvalutare una copertura. Coprire molti esiti lascia scoperto il complemento, e il complemento si paga lo stesso se esce. Una puntata che sembra larga può perdere su una fetta che non si era nominata. Il valore atteso usa tutte le fette, anche quella scomoda. Saltarla rende il conto ottimistico, cioè falso.
Non serve a trovare un lato favorevole. Se entrambi i lati di un listino sono prezzati con un margine, il complemento giusto spiega la probabilità, non cancella il margine. Sapere che il non-rosso è 19/37 non rende conveniente puntare contro il rosso. Spiega solo che cosa c'è dall'altra parte, zero compreso. Il vantaggio della casa sta nei pagamenti, non nella scelta del nome.
Confine
Questi conti non sono un invito a giocare e non riguardano i minori. Una frazione chiara non è uno stipendio. Se si usa denaro in un gioco lecito, il tetto si decide prima e non si sposta perché un complemento sembra piccolo. Le regole cambiano da Paese a Paese. Quando il calcolo diventa una ragione per restare, ha smesso di essere un calcolo.
Domande frequenti
Il contrario del rosso, in Europa, è il nero? No. Il non-rosso vale 19/37 e include 18 neri più lo zero. Il nero da solo resta 18/37.
Almeno una testa in due lanci equi quanto vale? Tre quarti. Il contrario è croce-croce, che vale 1/4, e 1 meno 1/4 fa 3/4.
Almeno un sei con due dadi è 11/36? Sì, se i dadi sono equi e indipendenti. Il contrario è 25/36, cioè nessuna delle due facce è un sei.