Varianza: stesse medie, oscillazioni diverse

Due giochi possono perdere, in media, la stessa frazione di euro eppure sentirsi diversissimi. Uno toglie poco quasi a ogni prova. L'altro sta zitto a lungo e ogni tanto paga una cifra che sembra un risarcimento. La media è il valore atteso. L'ampiezza degli scostamenti è la varianza. Confonderli fa chiamare sicuro un salasso lento e generoso un gioco che oscilla. Questa pagina tiene i due numeri separati, con esempi rifatti. Non è un consiglio di puntata. Il tema è da adulti.

Stessa media, serate diverse

Si immagini un gioco A che, a ogni euro, ne toglie sempre dieci centesimi. Non c'è sorpresa. Il valore atteso è meno 0,10. La dispersione è nulla: il risultato è sempre quello.

Si immagini un gioco B in cui, con probabilità 0,45, si vince 1 euro e, con probabilità 0,55, si perde 1 euro. Valore atteso: 0,45 per 1 più 0,55 per meno 1, cioè 0,45 meno 0,55, cioè meno 0,10. La media lunga coincide con quella del gioco A. La serata no. In B si può finire molto sopra o molto sotto dopo poche prove. In A si scende di un gradino piccolo e certo.

Il conto di B è lo stesso tipo di somma spiegata nel valore atteso. Qui si aggiunge solo che la media non descrive il rumore intorno alla media. Chi giudica un gioco da una sera sta guardando il rumore.

Perché il gioco rumoroso sembra migliore

Nel gioco B le vincite si ricordano. Nel gioco A non c'è nulla da raccontare, solo un meno dieci per cento ripetuto. La memoria preferisce il picco. Alla fine B sembra aver dato delle chance e A sembra una tassa. Sulla media sono fratelli. Sulla varianza, B può cancellare in poche prove una somma che A consumerebbe piano, e può anche, per un tratto, illudere di essere favorevole.

Le slot e i pieni della roulette stanno, come sensazione, dalla parte rumorosa: molti giri muti e, a volte, un pagamento alto. Una puntata alla pari oscilla meno, pur restando sfavorevole se il pagamento è quello usuale. Nessuna delle due forme cancella il segno negativo della media. Lo veste in modo diverso. Il testo sul vantaggio della casa dice il segno. Questo dice l'abito.

Campioni corti e false conclusioni

Dieci prove di B possono chiudere in guadagno anche se la media è meno 0,10. Non hanno smentito il conto. Hanno pescato un tratto alto della dispersione. Trenta teste su una moneta equa, in un campione piccolo, non riscrivono l'1/2, come già visto per le sequenze della moneta. Allo stesso modo, una sessione vinta non promuove un gioco a valore atteso positivo.

Il contrario è altrettanto vero. Una sessione disastrosa non dimostra che il gioco sia più svantaggioso del suo regolamento. Dimostra che la varianza si è espressa verso il basso. Cambiare gioco per questo motivo, senza leggere pagamenti e probabilità, è scambiare un episodio per una media. L'errore del giocatore ha qui una parente: credere che dopo un tratto basso sia dovuto un tratto alto che riporta i conti a posto. La media non riscuote i debiti del passato.

Che cosa guardare al posto della fortuna di ieri

Si guarda il segno del valore atteso, se si è in grado di calcolarlo senza inventare probabilità. Si guarda se i premi alti sono rari, perché è lì che si annida la varianza grande. Si guarda il proprio tetto: un gioco molto disperso può chiedere, per restare dentro una perdita sopportabile, una puntata più piccola di quella che l'emozione suggerisce. Non perché così si vinca. Perché così una oscillazione non divora la somma decisa.

Se i numeri del regolamento non bastano a fare il conto, non si riempiono i buchi con una percentuale sentita. Si dice che la varianza non è nota e non si recita una cifra. La precisione finta è peggio del silenzio. Un premio che sembra quasi, e che alimenta l'idea di essere nel tratto giusto della dispersione, è il tema della quasi vincita.

Confine adulto

Capire la varianza non rende un gioco equo e non è un invito a provarlo. Dice solo di non fidarsi della sera come se fosse la media. Il denaro messo resta una spesa. Il gioco d'azzardo è per chi ha almeno diciotto anni. Le regole cambiano da Paese a Paese.

Se l'oscillazione è il motivo per restare, nella speranza che il picco arrivi a compensare, la sessione va chiusa. Il picco non è in calendario.

Domande frequenti

Stesso valore atteso significa stesse serate? No. Due giochi a meno 0,10 possono uno scendere sempre di poco e l'altro oscillare forte. La media coincide, la dispersione no.

Una sessione vinta dimostra che il gioco è favorevole? No. Può essere un tratto alto di un gioco comunque negativo in media. Dieci prove non riscrivono il regolamento.

Dopo molte perdite, la varianza deve un recupero? No. La media non paga i conti del passato. Continuare aggiunge prove nuove, non uno sconto sulle vecchie.