Valore atteso: il conto del lungo periodo

Il valore atteso è la media che un gioco avrebbe se lo si potesse ripetere, identico, moltissime volte. Non è la previsione della prossima mano e non è il saldo di stasera. È un conto: si moltiplica ogni risultato per la sua probabilità e si sommano i prodotti. Se il numero è negativo, il lungo periodo è sfavorevole a chi paga per partecipare. Questa pagina fa tre conti piccoli, controllati due volte. Non è una ricetta di puntata. Il denaro nel gioco resta una spesa da adulti.

Come si costruisce il conto

Si elencano gli esiti possibili, senza dimenticarne. Per ciascuno si scrive la probabilità e il risultato in euro, con il segno: ciò che si incassa in più è positivo, ciò che si perde è negativo. Il valore atteso è la somma di probabilità per risultato. Le probabilità dello stesso elenco devono sommare a 1. Se non sommano a 1, manca un esito o se ne è contato uno due volte.

Il risultato si intende di solito per una unità di puntata, così i giochi si confrontano. Dire che il valore atteso è meno 0,20 significa venti centesimi persi in media per ogni euro messo, non venti euro persi stasera per forza. Una sera può finire sopra. Un'altra sotto. La media non obbliga la sera.

Tre conti facili da rifare

Primo. Moneta equa, si vince 1 euro su testa e si perde 1 euro su croce. Valore atteso: (1/2) per 1 più (1/2) per meno 1, cioè 0. Il gioco è simmetrico. Non è un modello dei giochi commerciali, che di simmetrico hanno poco. Serve come livello zero, spiegato anche nelle sequenze della moneta equa.

Secondo. Si vince 1 con probabilità 0,4 e si perde 1 con probabilità 0,6. Valore atteso: 0,4 per 1 più 0,6 per meno 1, cioè 0,4 meno 0,6, cioè meno 0,2. Ogni euro messo perde in media venti centesimi. Una serie corta può comunque chiudere in attivo. L'attivo corto non corregge il meno 0,2. Lo nasconde.

Terzo. Roulette europea, puntata alla pari sul rosso, una unità. Il rosso paga 1 a 1 e copre 18 caselle su 37. Valore atteso: (18/37) per 1 più (19/37) per meno 1, cioè (18 meno 19)/37, cioè meno 1/37. Circa il 2,7 per cento della puntata, in media di lungo periodo. È lo stesso margine del pieno a 35 a 1, già contato nel testo sul numero singolo. Due puntate diverse, stesso meno 1/37, se i pagamenti sono quelli usuali.

Ciò che il valore atteso non promette

Non promette che dopo una perdita arrivi un guadagno per tornare alla media. La media riguarda molte prove future immaginate, non un debito del passato. Aspettare il recupero è l'errore del giocatore travestito da statistica. Il valore atteso negativo dice il contrario: continuare, a parità di regole, non migliora il conto atteso. Aggiunge altre prove con lo stesso segno.

Non dice nemmeno l'ampiezza delle oscillazioni. Due giochi possono avere lo stesso valore atteso e una dispersione diversa. Uno perde poco quasi sempre. L'altro tace a lungo e ogni tanto paga una cifra grande. La serata si sente in modo diverso. Quella differenza è la varianza, non un secondo valore atteso. Ignorarla fa credere che un gioco quasi fermo sia sicuro e che un gioco rumoroso sia generoso.

Usarlo come lettura, non come piano

Il conto serve a leggere un regolamento. Si prendono i pagamenti scritti, si scrivono le probabilità se sono note e semplici, e si guarda il segno. Se le probabilità non sono note, non si inventano per far tornare un numero bello. Si dice che il conto non si chiude e non si finge precisione. Il vantaggio della casa è spesso proprio un valore atteso negativo reso con parole più semplici.

Il conto non sceglie la puntata della sera. Scegliere comunque di giocare, entro un tetto, è una spesa di svago, simile a un biglietto. Il biglietto ha un prezzo. Il valore atteso ricorda che il prezzo c'è anche quando la prima mano va bene. Se si gioca per spostare quel numero dal negativo allo zero, si è frainteso il conto: il segno non si contratta con la costanza.

Adulti e confine

Questi esempi non sono un consiglio operativo. Sono aritmetica elementare. Riguardano chi ha almeno diciotto anni, se mai si traducessero in un gioco reale. Le norme cambiano da Paese a Paese. Nessun valore atteso negativo diventa accettabile solo perché la puntata è piccola: diventa una perdita media piccola, ripetuta.

Se il desiderio è far tornare i conti di una perdita già avuta, il valore atteso non è lo strumento giusto. Lo strumento è chiudere la sessione. Una media futura non ripaga il passato.

Domande frequenti

Il valore atteso è quanto si vincerà la prossima volta? No. È una media su molte prove immaginate, identiche. La prova singola può finire lontano da quella media.

Un valore atteso di zero significa che non si perde? Nel modello simmetrico, in media non si guadagna né si perde. Nella singola prova si può perdere tutto ciò che si è messo. I giochi commerciali raramente sono a zero.

Perché rosso e pieno, in Europa, danno entrambi meno 1/37? Perché i pagamenti usuali sono calibrati così: 1 a 1 su 18/37, e 35 a 1 su 1/37. Il rapporto diverso nasconde lo stesso margine.