Due dadi e le somme possibili: un esercizio di probabilità
Perché il sette è la somma più frequente con due dadi? Una tabella semplice per capire combinazioni, probabilità e casualità.
I dadi sono tra i più antichi strumenti del caso e il modo migliore per imparare a ragionare in termini di probabilità. Con un solo dado tutto sembra semplice: sei facce, sei risultati equiprobabili. Con due dadi, invece, nasce una piccola sorpresa che spiega molto di come funziona il calcolo delle probabilità. Questo articolo è un esercizio didattico rivolto ad adulti (18+) e non invita a giocare.
Quante combinazioni esistono
Quando si lanciano due dadi distinti, per esempio uno rosso e uno blu, ogni dado ha 6 risultati possibili. Le combinazioni totali sono quindi 6 × 6 = 36, e ciascuna ha la stessa probabilità, cioè 1/36. Il rosso con 2 e il blu con 5 è una combinazione diversa dal rosso con 5 e il blu con 2, anche se la somma è la stessa. Questo è il punto chiave.
La tabella delle somme
Contiamo in quanti modi si può ottenere ciascuna somma:
- Somma 2: 1 modo (1+1)
- Somma 3: 2 modi
- Somma 4: 3 modi
- Somma 5: 4 modi
- Somma 6: 5 modi
- Somma 7: 6 modi
- Somma 8: 5 modi
- Somma 9: 4 modi
- Somma 10: 3 modi
- Somma 11: 2 modi
- Somma 12: 1 modo (6+6)
Sommando tutti i modi si ottiene 36, come previsto. La distribuzione è simmetrica e ha la sua punta al centro.
Le probabilità corrispondenti
La probabilità di una somma è il numero di modi diviso 36. Quindi:
- Il 7 ha probabilità 6/36 = 1/6, circa il 16,7%.
- Il 6 e l'8 hanno probabilità 5/36, circa il 13,9% ciascuno.
- Il 2 e il 12 hanno probabilità 1/36, circa il 2,8% ciascuno.
Il sette è quindi la somma più frequente, ma esce comunque solo una volta ogni sei lanci in media. Nelle altre cinque occasioni su sei, esce un altro numero.
Altri calcoli utili
La probabilità di un doppio (due dadi uguali) è 6/36 = 1/6. La probabilità che la somma sia almeno 10 è (3+2+1)/36 = 6/36 = 1/6. La probabilità che la somma sia pari è 18/36 = 1/2. Provare questi esercizi a mano, magari con una tabella 6×6, aiuta a interiorizzare il metodo: si contano i casi favorevoli e si dividono per quelli possibili.
Perché questo conta nei giochi
Molti giochi da tavolo e da casinò usano la somma di due dadi. Sapere che alcune somme sono più probabili permette di capire perché i pagamenti sono costruiti in un certo modo. Come spiegato nell'articolo sul vantaggio della casa, un pagamento "equo" rispecchierebbe la probabilità, mentre quello reale è inferiore. Conoscere le probabilità non permette di prevedere il prossimo lancio, ma aiuta a valutare quanto sia ragionevole una proposta.
Il dado non ha memoria
Se è uscito tre volte il sette, il prossimo lancio ha di nuovo probabilità 1/6 di dare sette. Questo è l'errore del giocatore, di cui parliamo nell'articolo su perché il caso non ha memoria. Ogni lancio è indipendente, e le frequenze si avvicinano a quelle teoriche solo su molti tentativi.
Un esperimento da fare a casa
Lancia due dadi cento volte e segna le somme. Probabilmente il sette sarà tra i più frequenti, ma i numeri esatti varieranno rispetto alle previsioni. È normale: più lanci fai, più le frequenze si avvicineranno alle probabilità teoriche. È un modo divertente e sicuro, senza denaro in gioco, per vedere il caso in azione.
Domande frequenti
Perché il sette è più probabile del due? Perché ci sono sei combinazioni che danno sette e una sola che dà due.
Cambiano le probabilità se uso dadi di colore uguale? No. Anche se non si distinguono, le combinazioni restano 36 e le probabilità non cambiano.
Le probabilità valgono anche per dadi truccati? No. Questi calcoli valgono per dadi equi. Un dado alterato modifica le probabilità e rende il gioco scorretto.