Lotterie e probabilità: perché le grandi vincite sono così rare

I grandi jackpot fanno notizia, e le storie di chi ha cambiato vita con un biglietto fanno immaginare che accada a molti. La matematica racconta una storia diversa: le probabilità di vincere i premi più alti sono talmente basse da risultare difficili da immaginare. In questo articolo proviamo a calcolarle con un esempio, senza formule complesse. Il testo è rivolto ad adulti (18+) e ha scopo informativo.

Le combinazioni possibili

Immaginiamo una lotteria in cui bisogna indovinare sei numeri scelti tra novanta, senza ripetizioni e senza importare l'ordine. Quante combinazioni diverse esistono? Il calcolo combinatorio dà la risposta con il coefficiente binomiale:

90 × 89 × 88 × 87 × 86 × 85 / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

Il numeratore è 448.282.533.600, il denominatore è 720, e il risultato è 622.614.630 combinazioni. Giocando una singola combinazione, la probabilità di indovinare tutti e sei i numeri è quindi 1 su 622.614.630, cioè circa 0,00000016%.

Dare un senso a un numero enorme

Cifre come queste sono difficili da percepire. Un paragone: se si riempisse uno stadio da 60.000 persone, ci vorrebbero oltre diecimila stadi pieni per avere una persona per ogni combinazione. Il nostro cervello non è allenato a distinguere tra "molto improbabile" e "quasi impossibile", e questo fa percepire il jackpot come più vicino di quanto sia.

I premi minori

Esistono in genere anche premi per chi indovina meno numeri, e le probabilità aumentano via via che il premio diminuisce. Per esempio, con lo stesso schema, indovinare esattamente 3 numeri su 6 ha una probabilità molto più alta, anche se resta una minoranza dei casi. Il calcolo è più articolato, ma il principio è uguale: più il risultato richiesto è raro, più alto è il premio.

La restituzione media

Una lotteria raccoglie denaro dai biglietti e ne restituisce solo una parte in premi; il resto va a coprire costi e a finanziare altre destinazioni previste dalle regole del singolo gioco. Come nelle altre forme di gioco, questo significa che il valore atteso di un biglietto è inferiore al suo prezzo. Il meccanismo è lo stesso descritto nel vantaggio della casa spiegato con esempi semplici: una media a favore di chi organizza, che si realizza su molti partecipanti.

Perché "qualcuno vince sempre"

Si sente dire che prima o poi qualcuno vince. È vero, perché i partecipanti sono moltissimi e le giocate si sommano. Ma questo non rende più probabile la vittoria del singolo giocatore. La probabilità individuale resta minuscola, e l'esistenza di un vincitore tra milioni di biglietti non dice nulla sulle probabilità di ciascuno.

I numeri "ritardatari" e le serie

Anche nelle lotterie compare l'errore del giocatore: si pensa che un numero non uscito da molte estrazioni abbia più probabilità di uscire. Se l'estrazione è davvero casuale, non è così. Lo abbiamo spiegato nell'articolo su perché il caso non ha memoria. Per la stessa ragione, giocare una combinazione "originale" o una serie ordinata non cambia le probabilità, anche se può cambiare la quota di premio da dividere in caso di vittoria.

Un approccio sano

Se si sceglie di acquistare un biglietto, conviene considerarlo come una spesa di intrattenimento di importo contenuto, senza aspettative di guadagno. Non si deve mai ricorrere a denaro necessario per le spese essenziali, né farsi prestare soldi per giocare, e conviene fissare un tetto mensile e rispettarlo. Se acquistare biglietti diventa un pensiero fisso, è il caso di parlarne con qualcuno.

Domande frequenti

Comprare più biglietti aumenta le probabilità? Aumentano proporzionalmente, ma restano piccolissime rispetto al numero di combinazioni possibili, mentre cresce la spesa.

Esistono numeri più fortunati? No. In un'estrazione casuale ogni combinazione ha la stessa probabilità.

Perché il jackpot sale così tanto? Perché, se nessuno vince, la quota si accumula per le estrazioni successive. Ciò non modifica la probabilità di vincere.